Coronavirus

Ein Modell der Coronapandemie zeigt, dass der Lockdown gerade noch rechtzeitig kam – aber wie berechnet man eigentlich ein Virus?

Wie man eine Pandemie in den Griff kriegt – und wie es nun weitergehen könnte. Wir erklären die wichtigsten Schritte.

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Wie kriegt man eine Pandemie in den Griff? Sie besteht aus einer unüberblickbaren Menge von Einzelaktionen (Händeschütteln, Husten, Niesen ...), mit denen sich ein unsichtbares Virus in einer Population verbreitet. Man kann das nur verstehen, wenn man die Statistik zu Hilfe nimmt.

Sie liefert gemittelte Grössen, die man in mathematischen Gleichungen verwenden kann. Wenn die Lösungen der Gleichungen den tatsächlichen Verlauf einigermassen wiedergeben, hat man die wichtigsten Prozesse verstanden. Das ist übrigens der übliche Weg der Naturwissenschaft und keine Hexerei. Vorbild war die kinematische Gastheorie. Auch da war es unmöglich, einzelne Teilchen zu berechnen. Aber die statistischen Methoden lieferten doch ein gutes Modell, wie sich ein Gas verhält.

Phase I: Rasante ­Verbreitung

Was wissen wir? Wir haben ein neues Virus. Immunität ist noch nicht vorhanden. Deshalb wird sich das Virus in der ersten Phase exponentiell vermehren. Seine Verbreitung hängt davon ab, wie viele andere Menschen ein Virusträger ansteckt, solange er infektiös ist. Und die Angesteckten werden dann jeweils wieder eine bestimmte Anzahl neue anstecken. Diese Zahl, die Basisreplikationszahl R0, lässt sich vorderhand nur aus den vorliegenden Daten abschätzen.

Es lässt sich auch abschätzen, wie lange es braucht, bis sich die Infektionszahlen verdoppeln. Aus China und Italien wusste man, dass diese Zeitspanne ungefähr zwei Tage beträgt (V = 2). Wenn wir wissen wollen, wann wir mit 1000 Infizierten zu rechnen haben, müssen wir berechnen, wie viele Verdoppelungsschritte dafür nötig sind.

In der geometrischen Reihe, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 1024 … können wir abzählen und erhalten 10, also 20 Tage. (Die Formel würde lauten: I = 2 n⁄v, für unseren Fall 1000 = 2 20⁄2 = 2 10 = 1024). Der erste positive Test im Tessin war am 24. Februar. Wenn wir annehmen, dass der Patient sich fünf Tage zuvor angesteckt hat, bevor er Symptome zeigte, wäre Tag null der 19. Februar. 1000 Infizierte hatten wir in der Schweiz am 10. März.

Am 13. März wurden die Schulen geschlossen und am 16. März verkündete der Bundesrat die «ausserordentliche Lage». Damals registrierte man knapp 800 Neuinfektionen pro Tag und zählte rund 4000 Infizierte. Die Massnahmen zeigten Wirkung: Am 22. März (Tag 32) waren es 1100 Neuinfektionen und gegen 10'000 Infizierte. (Ohne die Massnahmen wären es etwa 90'000 Infizierte gewesen mit täglich rund 30'000 Neuinfektionen.)

Wie kann man die Massnahmen in ein mathematisches Modell einbauen? Sie sollen den Verlauf der Epidemie verlangsamen, was sie erreichen, wenn ein Infizierter weniger andere Menschen ansteckt. Die Basisreplikationszahl R0 ist deshalb keine feste Grösse, sondern verändert sich im Laufe einer Epidemie. Ist sie höher als 1, verbreitet sich das Virus, ist sie kleiner, sinkt schliesslich die Zahl der Neuinfizierten. Irgendwann stoppt die Epidemie.

Phase 2: Wir selbst steuern die Epidemie

Bis jetzt ist R0 eine reichlich abstrakte Grösse. Mehr Konturen erhält sie, wenn wir sie aufschlüsseln: Sie besteht aus den Faktoren K (= Anzahl der Kontakte pro Tag), p (= Wahrscheinlichkeit einer Ansteckung bei einem Kontakt) und D = mittlere Dauer der Krankheit in Tagen (bei diesem Virus ist auch eine Zeitdauer enthalten, in der man infektiös sein kann, ohne dass man Symptome zeigt). Man sieht, wie wichtig es ist, die Zahl der Kontakte zu minimieren, die Wahrscheinlichkeit der Ansteckung kann man mit Masken, Abstand und dergleichen verkleinern.

Die Epidemiologen rechnen mit SIR-Modellen: S = susceptible individuals, I = infectious individuals und R = removed/recovered individuals; also ansteckbare, angesteckte und nicht ansteckende (immun gewordene, in Quarantäne oder tote) Personen.

Die R-Zahl kann man als am Tag n-D infizierte Personen ins Modell aufnehmen. Wir nehmen als S die Schweizer Bevölkerung an und dass I markant kleiner ist als S. Man kann sich das so vorstellen, dass Individuen vom Topf S in den Topf I und dann in den Topf R wandern und das Modell die verschiedenen Schritte dazwischen mathematisch simuliert.

Wie der Prozess verläuft, kann man in einer sogenannten DDE-Gleichung (Delay Differential Equation) berechnen. Solche Verzögerungs-Differenzialgleichungen kann man mit Solvers (Lösungsalgorithmen) lösen. Die liefert unter anderem das weitverbreitete Programmpaket «Mathematica».

Kann das Modell die Daten reproduzieren?

Nun kann man das Modell kalibrieren, das heisst an die vorhandenen Daten angleichen. Eine kritische Sache ist noch der Prozess, wie sich die Verdoppelungszahl verlängert hat (oder die R0-Zahl kleiner geworden ist). Man darf sich das wahrscheinlich nicht abrupt vorstellen, sondern eher so, dass man annimmt, dass etliche Personen bereits vor dem 16. März vorsichtiger geworden sind, eine andere grosse Anzahl aber erst verzögert nach dem 16. März.

Der Übergang von der kurzen Verdoppelungszeit V1 (vor dem 16. März) zu einer längeren V2 (prinzipiell bis heute) muss deshalb im Modell über eine längere Zeitdauer, das Umschaltintervall U, verteilt werden.

Anhand der Daten auf ­coronamap.ch wurden die Parameter V1, V2, U und D so lange in kleinen Schritten verändert, bis das Modell die Daten gut abbildete. Mit V1 = 1,95 Tage; V2 = 19 Tage, U = 20 Tage und D = 16 Tage reproduzierte das Modell die Daten bis zum 20. April erstaunlich gut. Und R0 wäre von 5,7 (das CDC, das Center for Disease Control and Prevention in den USA, hat diesen Wert auch veröffentlicht) auf 0,6 abgesunken.

Nach dem Tag 32 (22. März) nehmen die Neuansteckungen ab. Die Daten sind wahrscheinlich nicht sehr akkurat. Aber das Modell zeigt, dass die «Dunkelziffer» (die Zahl der nicht erfassten Angesteckten) einigermassen konstant ist.

Was passiert jetzt nach der Teil-Lockerung?

Das Modell erlaubt nun eine Vorschau auf mögliche Szenarien nach der teilweisen Lockerung der Massnahmen ab dem 27. April. Könnte man R0 unter 1 (bei 0,9) halten, wäre der Verlauf «grün» mit einer Verdoppelungszeit von 12 Tagen. Ein R0-Wert von 1,1 (Verdoppelungszeit 10 Tage, orange Darstellung) würde die Zahl der Neuansteckungen wieder ansteigen lassen, neue Massnahmen wären notwendig. Und ein R0-Wert von 1,4 (blau, Verdoppelungszeit 8 Tage) würde die Epidemie wieder stark ansteigen lassen.

Der R0-Wert wird jetzt allein durch das Verhalten der Leute bestimmt: Nach wie vor die Zahl der Kontakte beschränken und die Ansteckungswahrscheinlichkeit minimieren (Masken, Händewaschen, Abstand etc.). Ohne Impfstoff dürfte die Schweiz die Neuansteckungen kaum auf null bringen. Und bei rund 200 Neuinfektionen pro Tag dürfte es bis zur Herdenimmunität (ca. 60 bis 70 Prozent der Population immun) rund ein Jahrhundert dauern.

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